El árbol de Pitágoras es un plano fractal construido a partir de cuadrados, inventado por el profesor Albert E. Bosman en 1942. Lleva el nombre del matemático griego Pitágoras debido a que en cada unión de 3 cuadrados se forma un triángulo rectángulo en una configuración utilizada tradicionalmente para representar el teorema de Pitágoras. Si el cuadrado más grande tiene un tamaño de L x L, todo el árbol de Pitágoras encajará perfectamente dentro de una caja de tamaño 6L × 4L.[1]​[2]​ Los detalles más finos de los árboles se asemejan a la curva de Lévy C.

Construcción

construcción del árbol de Pitágoras comienza con un cuadrado. Sobre este cuadrado se construyen otros dos cuadrados, cada uno reducido por un factor lineal de ½√2 de tal manera que las esquinas de los cuadrados coinciden dos a dos. Este mismo procedimiento se aplica de forma recursiva para las dos cuadrados más pequeños, repitiéndose el proceso indefinidamente. La siguiente imagen muestra las primeras iteraciones en el proceso de construcción.[1]​[2]​

El límite de esta sucesión de conjuntos existe[3]​ y es el fractal llamado árbol de Pitágoras.

Área

La iteración n en la construcción suma 2n cuadrados de tamaño (½√2)n para un área total de 1. Así el área del árbol puede parecer que crece sin límite cuando n→∞. Sin embargo, algunos de los cuadrados se superponen a partir de la orden de iteración 5, el árbol en realidad tiene un área finita, ya que queda inscrito dentro de una caja de 6 x 4.[1]​

Se puede demostrar fácilmente que el área A del árbol de Pitágoras debe estar en el rango de 5 A.

Propiedades

  • El número total de cuadrados en el paso n {\displaystyle n} es ∑ k = 0 n 2 k {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}2^{k}} .
  • Presenta autosimilitud exacta.
  • Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es 2.[4]​
  • Se puede generar mediante el sistema de funciones iteradas no contractivo formado por las siguientes funciones:[5]​
f 1 ( x , y ) = ( x , y ) {\displaystyle f_{1}(x,y)=(x,y)}
f 2 ( x , y ) = 1 2 ( x − y , x y ) ( 0 , 1 ) {\displaystyle f_{2}(x,y)={\frac {1}{2}}(x-y,x y) (0,1)}
f 3 ( x , y ) = 1 2 ( x y , − x y ) ( 1 2 , 3 2 ) {\displaystyle f_{3}(x,y)={\frac {1}{2}}(x y,-x y) \left({\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}}\right)}
  • Si se elimina la primera función del sistema de funciones iteradas, se tiene un sistema contractivo que genera un fractal parecido a la curva C de Lévy.

Variantes

Si se cambian los ángulos que forman los cuadrados (y, por tanto, sus tamaños), se obtienen otros árboles fractales. Por ejemplo, con ángulos de 60 y 30 grados y 9 iteraciones se tiene el siguiente árbol (en este ejemplo, el conjunto inicial es el borde de un cuadrado):

Para los ángulos α {\displaystyle \alpha } y 90 ∘ − α {\displaystyle 90^{\circ }-\alpha } , la razón de contracción de los cuadrados ha de ser c o s ( α ) {\displaystyle cos(\alpha )} y s i n ( α ) {\displaystyle sin(\alpha )} , respectivamente.[4]​

Historia

El árbol de Pitágoras fue construido por primera vez por el profesor de matemáticas Albert E. Bosman (1891-1961), en Holanda en 1942.[6]​[1]​

Uso

Es posible que el árbol de Pitágoras sería muy útil para antenas fractales con ajustes menores. Esta suposición se basa en la dimensión de Hausdorff-Besicovitch.

Véase también

  • Anexo:Fractales por dimensión de Hausdorff

Referencias

Enlaces externos

  • Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Árbol de Pitágoras.
  • Galería de árboles de Pitágoras
  • Árboles de Pitágoras

Árbol de Pitágoras. YouTube

El Árbol de Pitágoras MatematicasCercanas

Árbol Pitagorico YouTube

El teorema de Pitágoras en el arte — Cuaderno de Cultura Científica

Opiniones de Árbol de Pitágoras